- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD中,
（1）如果E、F分别为AB、BC中点, 分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起, 使A、B、C重合于点P.证明: 在折叠过程中, A点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.
（2）如果F为BC的中点, E是线段AB上的动点, 沿DE、DF将△AED、△DCF折起,使A、
C重合于点P, 求三棱锥P－DEF体积的最大值.- 答案：（1）证明见解析，A在以M为圆心, AM为半径的圆上.（2）
- 试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.
（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.
试题解析：
（1）解：∵E、F分别为正方形边AB、BC中点, 在平面图中连接AF, BD交于O点, AF交DE于M, 可知O
为三角形DEF的垂心.三角形AED在沿DE折叠过程中, AM始终垂直于DE, ∴A在过M且与DE垂直的
平面上, 又AM＝
, ∴A在以M为圆心, AM为半径的圆上.
（2）∵PD⊥PF, PD⊥PE, ∴PD垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF面积最大时, 三棱锥P－DEF体积最大.
设PE＝t,
,
,
, 当
时
.
考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算