- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知定义在正实数集上的函数f（x）＝
＋ax，g（x）＝4a2lnx＋b，其中a＞0，设两曲线y＝f（x）与y＝g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同.
（1）若a＝1，求两曲线y＝f（x）与y＝g（x）在公共点处的切线方程；
（2）用a表示b，并求b的最大值.- 答案：（1）8x－2y－3＝0；（2）b＝
－4a2lna，最大值为
. - 试题分析：（1）在公共点处切线相同，包含两层意思，一是两曲线都经过公共点，二是在该点处切线的斜率（导数值）相同，结合a＝1可求出切线方程；（2）同（1）即可得到a与b的关系式，将b写成a的函数，利用导函数判断单调性，进而求最值.
试题解析：（1）当a＝1时，f（x）＝＋x，g（x）＝4lnx＋b（x＞0）
f '（x）＝3x＋1，g'（x）＝
设曲线y＝f（x）与y＝g（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同，
则有
即
解得x0＝1，b＝
（其中x0＝－
舍去）
∴公共点为（1，）
公共点处的切线方程为y－＝4（x－1）
即8x－2y－3＝0
（2）f '（x）＝3x＋a，g'（x）＝
，设在点（x0，y0）处的切线相同，
则有
即
由②得3x02＋ax0－4a2＝0
即（x0—a）（3x0＋4a）＝0
得x0＝a，或x0＝－
（舍去）
于是b＝
＋a2－4a2lna＝－4a2lna
令h（t）＝
－4t2lnt（t＞0）
则h'（t）＝5t－8tlnt－4t＝t（1－8lnt）
于是当t（1－8lnt）＞0，即0＜t＜
时，h'（t）＞0
故h（t）在（0，）上递增
当t（1－8lnt）＜0，即t＞时，h'（t）＜0
故h（t）在（，＋∞）上递减
所以，h（t）在t＝处取得最大值
所以，当a＝时，b取得最大值
.
考点：导数的几何意义，利用导数研究函数性质，函数的最值