- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形, AC∩BD="O," AA1=2
, BD⊥A1A, ∠BAD=∠A1AC="60°," 点M是棱AA1的中点.
（1）求证: A1C∥平面BMD;
（2）求证: A1O⊥平面ABCD;
（3）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值.- 答案：（1）（2）证明详见试题分析（3）
- 试题分析：（1）连结MO，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明
（2）由已知条件推导出BD⊥面A1AC，
，由此能证明
（3）通过作辅助线确定直线
与平面
所成的角，然后求出其正弦值
试题解析：（1）证明：连结
，∵
，∴MO∥
，
∵MO
平面BMD，
平面BMD
∴A1C∥平面BMD.
（2）证明：∵
，
，∴BD⊥平面
于是
，
，
∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=
AC=
，
又∵
，∴
，
又∵
，∴
⊥平面ABCD.
（3）解：如图，以O为原点，以OA为
轴，OB为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，由题意知
，
，
，
，∵
，∴
∵
，∴
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，得
∴
∴直线BM与平面所成角的正弦值为
.
考点：立体几何的证明与求解