- 试题详情及答案解析
- 如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．
下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）
①△CPD∽△DPA；
②若∠A=30°，则PC=
BC；
③若∠CPA=30°，则PB=OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．- 答案：②③④
- 试题分析：解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，
∴△CPD∽△DPA错误；
②连接OC，
∵AB是直径，∠A=30°
∴∠ABC=60°，
∴OB=OC=BC，
∵PC是切线，
∴∠PCB=∠A=30°，∠OGP=90°，
∴∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°=
，
∴PC=
BC，正确；
③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，
∴∠ABC=∠APC+∠A，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠APC+2∠A=90°，
∵∠APC=30°，
∴∠A=∠PCB=30°，
∴PB=BC，∠ABC=60°，
∴OB=BC=OC，
∴PB=OB；正确；
④解：如图，连接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°；正确；
故答案为：②③④
考点：切线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质
点评：本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形