- 试题详情及答案解析
- （8分）如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上。
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=30°，CD=4，求线段AB的长。- 答案：（1）证明：连结OD，如图，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，
在Rt△ADC中，DC=4，
∴AC=
DC=
，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AB=2AC=
． - 试题分析：（1）连结OD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，而∠OAD=∠ODA，则∠ODA=∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由∠B=30°得到∠BAC=60°，则∠CAD=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=，然后在Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB=
考点：切线的判定；勾股定理
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系