- 试题详情及答案解析
- （10分）已知：如图所示，抛物线y= -x2+bx+c与x轴的两个交点分别为 A（1，0），B（3，0）。
（1）求抛物线的解析式；
所有点P的坐标；
（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。- 答案：解：（1）依题意有
，
∴b=4，c=﹣3，
∴抛物线解析式为
；
（2）如图，设P（x，y）
∵AB=2，
∴
×2×|y|=1
∴y=±1
当y=1时，
解得
，
当y=﹣1时，
解得
，
∴满足条件的点P有三个坐标分别为（2，1），（
，﹣1），（
，﹣1）；
（3）存在．
过点C作抛物线的对称轴的对称点C'，如图
∵点C（0，﹣3），对称轴为x=2，
∴C′（4，﹣3），
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
则
，
∴k=﹣1，b=1，
∴直线AC′的解析式为y=﹣x+1，
直线AC′与对称轴x=2的交点为（2，﹣1），即M（2，﹣1），
∴存在点M（2，﹣1），可使△AMC的周长最小． - 试题分析：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线
中，列方程组可求抛物线解析式；
（2）由于AB=3﹣1=2，而，故△PAB中，AB边上的高为1，即P点纵坐标为±1，代入抛物线解析式可求P点横坐标；
（3）过点C作抛物线的对称轴的对称点C'，根据抛物线的对称性求得C′（4，﹣3），连接直线AC′，求直线AC′的解析式，直线AC′与对称轴的交点即为所求点M
考点：二次函数综合题
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用待定系数法求抛物线解析式，根据面积公式求P点纵坐标，根据抛物线解析式求P点横坐标，根据抛物线的对称性求三角形的最小周长