- 试题详情及答案解析
- （本小题满分16分）已知函数
（a为常数）.
（Ⅰ）若
，写出
的单调增区间；
（Ⅱ）若
，设在区间
上的最小值为
，求的表达式；
（Ⅲ）设
，若函数
在区间上是增函数，求实数a的取值范围.- 答案：（Ⅰ）
,
;（Ⅱ）
；（Ⅲ）
. - 试题分析：（Ⅰ）求出函数的解析式，画图即可求出；（Ⅱ）由
，有
，对称轴
，讨论函数对称轴在
、
、
这三种情况下的最小值；（Ⅲ）确定
，函数在区间上是增函数，需满足在区间上任取
，且
，
恒成立，可转化为
，对任意
，且恒成立， 分
、、
，进行讨论.
试题解析：（1）当a=1时，
，画出其图象，
易得的增区间为：和 （写对一个给2分） 4分
（2）因为，所以，又
①当，即
时，在
上递增，在
上递减
所以
6分
②当，即
时，在上递增，所以
8分
③当，即
时，在上递减，所以
10分
综上：
（没有用分段函数表示的不扣分）
（3），在区间上任取，且，
则
，（*） 12分
在上是增函数，
，
∴（*）可转化为对任意，且都成立，
即
，
①当时，上式显然成立 13分
②当时，
，由
，得
，解得
14分
③当时，
，
，得
15分
所以实数
的取值范围是
16分
另解：当时，
单调递增，满足题意； 12分
当时，
在
上递增，在
上递减，则有
14分
当
时，单调递增，满足题意； 15分
当
时，在上递减，在上递增，则有
综上， 16分
考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数知识的综合运用.