- 试题详情及答案解析
- （2005•辽宁）已知函数f（x）=
（x≠﹣1）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），数列{bn}满足bn=|an﹣
|，Sn=b1+b2+…+bn（n∈N*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明bn≤
；
（Ⅱ）证明Sn＜
．- 答案：见解析
- 试题分析：（Ⅰ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式bn≤当n=1时成立，再假设不等式bn≤当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式bn≤也成立，最后得到不等式bn≤对于所有的正整数n成立；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，我们可以利用放缩法证明Sn＜，放缩后可以得到一个等比数列，然后根据等比数列前n项公式，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+
≥1．
因为a1=1，所以an≥1（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明不等式bn≤
．
（1）当n=1时，b1=
﹣1，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤
．
那么bk+1=|ak+1﹣|=
≤
．
所以，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤
．
所以Sn=b1+b2+…+bn≤（
﹣1）+
+…+=（﹣1）•
＜（
﹣1）•
=
．
故对任意n∈N*，Sn＜．
点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．