- 试题详情及答案解析
- 已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．
- 答案：见解析
- 试题分析：由（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，得a3+b3≥a2b+ab2，同理，a3+c3≥a2c+ac2，b3+c3≥b2c+bc2三式相加，能证明2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．
证明：先证明：a3+b3≥a2b+ab2，
∵（a3+b3）﹣（a2b+ab2）
=a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）
=（a2﹣b2）（a﹣b）
=（a+b）（a﹣b）2
≥0，
∴a3+b3≥a2b+ab2，取等号的条件是a=b，
同理，a3+b3≥a2b+ab2，
a3+c3≥a2c+ac2，
b3+c3≥b2c+bc2
三式相加，得：
2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b），
取等号的条件是a=b=c，
∴2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．
点评：本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．