- 试题详情及答案解析
- 已知数列{an}的各项都是正数，且满足：
．
（1）求a1，a2；
（2）证明an＜an+1＜2，n∈N．- 答案：（1）
（2）见解析- 试题分析：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤．要做好命题n=k到n=k+1的转化，要注意转化的要求是在变化过程中结构不变．
解：（1）．
（2）用数学归纳法证明：
1°当n=0时，
，∴a0＜a1＜2，命题正确．
2°假设n=k时，有ak﹣1＜ak＜2．
则n=k+1时，
=
．
而ak﹣1﹣ak＜0，4﹣ak﹣1﹣ak＞0，∴ak﹣ak﹣1＜0．
又
，∴n=k+1时命题正确．
由1°、2°知，对一切n∈N，有an＜an+1＜2．
点评：用数学归纳法证第二步时采用的是作差比较法，针对证明的目标，即要证明“左边﹣右边＜0”即可，但一定要注意拆项添项配凑出假设条件，才是完整的数学归纳法证明．