- 试题详情及答案解析
- （2011•河池模拟）已知正项数列{an}满足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2﹣an+1an，n∈N*
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
}的前n项积为Tn，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有Tn＞
．- 答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析 - 试题分析：（I）先对（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0进行化简得到
，再由累乘法可得到数列的通项公式是an．
（II）根据（I）求出Tn，利用数学归纳法证明即可，证明过程中注意数学归纳法的步骤和导数的灵活应用．
解：（I）∵（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0
∴（另解﹣an不合题意舍去），
∴
，
即 
，
（II）由（I）得：Tn=n!，
当x＞0时，Tn＞
等价于xn＜n!ex ①
以下用数学归纳法证明：
①当n=1时，要证x＜ex，令g（x）=ex﹣x，
则g′（x）=ex﹣1＞0，
∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜ex成立；
②假设当n=k时，①式成立，即xk＜k!ex，那么当n=k+1时，
要证xk+1＜（k+1）!ex也成立，
令h（x）=（k+1）!ex﹣xk+1，则h′（x）=（k+1）!ex﹣（（k+1）xk
=（k+1）（k!ex﹣xk），
由归纳假设得：h′（x）＞0，
∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，
即xk+1＜（k+1）!ex也成立，
由①②即数学归纳法原理得原命题成立．
点评：本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法．求数列通项公式的一般方法﹣﹣公式法、累加法、累乘法、构造法等要熟练掌握，属中档题．