- 试题详情及答案解析
- 试比较nn+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．
当n=1时，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．- 答案：＜，＜，＞，＞
- 试题分析：本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出nn+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．
解：当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，
当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，
当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，
当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，
根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．
①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64
即nn+1＞（n+1）n成立．
②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：
＞1
则当n=k+1时，
=
＞
=
＞1
即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，
∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．
点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．