- 试题详情及答案解析
- （本题10分）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．CM⊥AE,垂足是F, 交AD于N,交AB于M,连接ME。
（1）求证：ME⊥BC；
（2）若AB=
，试求ME的长。- 答案：（2）1
- 试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质可以得到要相等，在根据勾股定理得到斜边的长，然后根据等腰三角形的性质得出CE的长，从而求出BE,最终根据等腰三角形的性质求出结果.
试题解析：（1）∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD
又∵∠BAC=90°,AD⊥BC
∴∠EAC=90°-∠BAE; ∠AED=90°-∠EAD
∴∠EAC=∠AED
∴AC=EC
∵CM⊥AE
∴∠ACM=∠ECM 又CM=CM
∴△ACM≌△ECM（SAS）
∴∠MEC=∠MAC=90°
即ME⊥BC
（2）在Rt△ABC中,AB=AC=
∴BC=
又CE=AC=
∴BE=BC-CE=（
）-（）=1
∵ME⊥BC, ∠B=45°
∴∠BME=∠B
∴ME=BE=1
考点：等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质