- 试题详情及答案解析
- （本题8分）已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．
（1）如图1，若点C的横坐标为－4，求点B的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．
（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S△BEM：S△ABO．
- 答案：解：（1）如图1，作CM⊥y轴于M，则CM=4，
∵∠ABC=∠AOB=90゜，
∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM和△ABO中
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴OB=CM=4，
∴B（0，-4）．
（2）如图2，作CM⊥y轴，
∵∠CBO+∠OBA=∠CBA=90°，
∠OBA+∠BAO=90°，
在△CMB和△BOA中，
∴△CMB≌△BOA（AAS），
∴CM=BO，AO=BM，
∵点C的纵坐标为3，
∴MO=3，
∴CM=BO=BM-MO=5-3=2，
∵CM⊥y轴，
∴△BDO∽△BCM，
∴
，
即DO=
故点D的坐标为
（3）如图3，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，
∴在△BFM和△NEM中
，
∴△BFM≌△NEM（AAS），
∴BM=NM，
∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，
∴
，
.
- 试题分析：（1）作CM⊥y轴于M，则CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90゜，∠CBM=∠BAO，证△BCM≌△ABO，求出OB=CM=4即可．
（2）作CM⊥y轴于M，利用AAS得到△CMB≌△BOA，得到各边长，然后由△BDO∽△BCM得到DO的长度，继而得到点D坐标；
（3）作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，推出△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，证△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根据三角形面积公式得出
，即可得出答案．
考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形.
点评：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度.