- 试题详情及答案解析
- 如图，在直三棱柱
（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面
侧面
，
,
，且满足
.
（1）求证：
；
（2）求点
的距离；
（3）求二面角
的平面角的余弦值.- 答案：（1）证明见解析，（2）
，（3）
- 试题分析：如何用平面侧面？由面面垂直的性质定理，过
作
，垂足为
，可知
，有
，又
，则
，于是
即可；第二步求点
到直线
的距离有两种方法：（1）利用体积相等，（2）利用空间向量的坐标运算，直接求法向量，用公式；第三步求二面角的平面角的余弦值可运用求法向量的方法求之.
试题解析：（1）证明：如右图，过作，垂足为，因平面
侧面
， 且平面
侧面
，可知，有，又，
，则,又
平面
，所以
.因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则
底面
，所以
.又
,从而侧面，又
侧面，故
.
（2）由（1）知，以点
为坐标原点，以
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
，
又由线段
上分别有一点
，满足，所以
，
，
所以
,
所以点的距离
.
（3）设平面 
的法向量为
，易知平面 
的法向量可以为
.由
，令
，则
，可得平面 的一个法向量可为
，设
与
的夹角为
.则
，易知二面角的平面角为钝角，故应为角的补角，所以其余弦值为.
考点：1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化；2.求点到平面距离；3.二面角；