- 试题详情及答案解析
- （本小题满分10分）已知函数
（1）若函数
在
处的切线方程为
，求
的值；
（2）讨论方程
解的个数，并说明理由。- 答案：（1）
，（2）当
时，方程有惟一解；当
时，方程无解；当
时方程有两解． - 试题分析：第一步函数在处的切线方程为，切线斜率为1，由于
,则
，而
，第二步由于函数定义域为
，
，当
时，在定义域上恒大于
，此时方程无解；当
时，
，函数在定义域上为增函数，因为
，
，则
，函数有唯一一个零点，所以方程有惟一解；当
时，
，
函数在
上是减函数，在
内为增函数，当
时，有极小值即为最小值
，最后根据最小值分大于零、等于零、小于零三种情形对应方程根的个数实施讨论，给出各种情形的答案即可；
试题解析：（1）因为： 
，又在处的切线方程为
所以 
解得：
（2）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；当
时，
在上恒成立， 所以在定义域上为增函数。，，所以方程有惟一解。
当
时，
，因为当
时，
，在内为减函数；当
时，在内为增函数。所以当时，有极小值即为最小值
当
时，
，此方程无解；
当
时，
此方程有惟一解。
当
时，
，因为
且
，所以方程在区间上有惟一解， 又因为当
时，
，所以 
，所以 
，因为 
，所以 
所以 方程在区间上有惟一解。所以方程在区间
上有两解。
综上所述：当时，方程有惟一解；当时，方程无解；当时方程有两解。
考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点；3．导数的应用；