- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是上的有界函数，其中
称为函数的上界.已知函数
，
（1）当
时，求函数
在
上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在
上是以4为上界的有界函数，求实数
的取值范围.- 答案：（1）函数
在
上不是有界函数;（2）
- 试题分析：（Ⅰ）将
代入
可得
，令
利用函数的单调性判断出
在
上是单调递增函数，即可求得
，从而得到的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出不是有界函数；
（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得
在
上恒成立，利用参变量分离转化为
在
上恒成立，令
，则
，
，问题转化为求
的最大值和
最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数和的单调性，即可求得最值，从容求得
的取值范围．
试题解析：（1）当时， ,令 ，因为在上单调递增，
，即
在
的值域为
故不存在常数，使成立，所以函数在上不是有界函数。
（2）由题意知，对恒成立。
， 令
∴ 对恒成立 9分
∴
设，，由，
由于
在上递增，
在上递减， 在上的最大值为
， 在
上的最小值为
所以实数的取值范围为
。
考点：1.指数与指数函数；2.函数综合.