- 试题详情及答案解析
- （本小题满分10分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2
，求AB的长。- 答案：（1）见解析 （2）AB=6
- 试题分析：（1）根据△AEO和△CFO全等来进行说明；（2）连接OB，得出△BOF和△BOE全等，然后求出∠BAC的度数，根据∠BAC的正切值求出AB的长度.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD ∴∠OAE=∠OCF ∠OEA=∠OFC ∵AE=CF
∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF
（2）连接BO ∵OE=OF BE=BF ∴BO⊥EF 且∠EBO=∠FBO ∴∠BOF=90°
∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BCF=90° ∵∠BEF=2∠BAC ∠BEF=∠BAC+∠EOA
∴∠BAC=∠EOA AE=OE ∵AE=CF OE=OF ∴OF=CF 又∵BF=BF ∴Rt△BOF≌Rt△BCF
∴∠OBF=∠CBF ∴∠CBF=∠FBO=∠OBE ∵∠ABC=90° ∠OBE=30°
∴∠BEO=60° ∠BAC=30° ∵tan∠BAC=
∴tan30°=
即
∴AB=6.
考点：三角形全等的证明、锐角三角函数的应用.