- 试题详情及答案解析
- (本小题满分14分)数列满足:;
(1)证明:数列是单调递减数列的充要条件是:;
(2)求的取值范围,使数列是单调递增数列.- 答案:(1)见试题解析;(2).
- 试题分析:(1)因为数列是单调递减数列对任意的,恒有,即
数列是单调递减数列.(2)因为数列是单调递增数列,所以由(1)知;当时,由,知,数列是常数列数列,舍去;当时,由知,;由对任意的,恒有知,;由结合数列是单调递增数列知,对任意的, 恒成立;当时,恒有 ,满足;当时,,由知,存在正整数,使得当时,,此时,当时,,不满足,所以.
试题解析:(1)证明:必要条件:当c<0时,,
∴数列是单调递减数列. 2分
充分条件:当数列是单调递减数列时,对任意的, 恒成立,
∴对任意的, 恒成立,∵,∴. 4分
∴数列是单调递减数列的充要条件是. 5分
(2)∵数列是单调递增数列,∴由(1)可得:; 7分
∵,
∴当时,,不合题意; 8分
当时,,,
∴,解得 , 9分
又∵,∴,. 10分
又∵,
∴对任意的, 恒成立, 11分
∴当时,恒有 ,满足,∴适合题意. 12分
当时,,由知,存在正整数,使得当时,;此时,当时,
,不满足,舍去; 13分
综上可知,当时,数列是单调递增数列. 14分
考点:①数列的单调性的证明;②由数列的单调性确定参数的范围.