- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）数列
满足：
；
（1）证明：数列是单调递减数列的充要条件是：
；
（2）求
的取值范围，使数列是单调递增数列．- 答案：（1）见试题解析；（2）
． - 试题分析：（1）因为数列是单调递减数列
对任意的
,恒有
，即
数列是单调递减数列．（2）因为数列是单调递增数列，所以由（1）知
；当
时，由
，知
，数列是常数列数列，舍去；当
时，由
知，
；由对任意的,恒有
知，
；由
结合数列是单调递增数列知，对任意的
,
恒成立；当
时，恒有
，满足
；当
时，
，由
知，存在正整数
,使得当
时，
，此时，当时，
，不满足，所以．
试题解析：（1）证明：必要条件：当c<0时，
，
∴数列
是单调递减数列． 2分
充分条件：当数列是单调递减数列时，对任意的,
恒成立，
∴对任意的,
恒成立，∵
，∴． 4分
∴数列是单调递减数列的充要条件是． 5分
（2）∵数列是单调递增数列，∴由（1）可得：； 7分
∵，
∴当时，
，不合题意； 8分
当时，
，
，
∴
，解得 ， 9分
又∵
，∴
，
． 10分
又∵
，
∴对任意的, 恒成立， 11分
∴当时，恒有 ，满足，∴适合题意． 12分
当时，，由知，存在正整数,使得当时，；此时，当时，
，不满足，舍去； 13分
综上可知，当时，数列是单调递增数列． 14分
考点：①数列的单调性的证明；②由数列的单调性确定参数的范围．