- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知函数
，其中e为自然对数的底数，a为常数．
（1）若对函数
存在极小值，且极小值为0，求a的值；
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求a的取值范围．- 答案：（1）
；（2）（-∞，1]．- 试题分析：（1）对
进行求导
，根据a进行讨论，当
时，
，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；当
时，由，可得
，由
，可得
，∴
为函数的极小值点，由已知，
，即
，∴．（2）代入，即
，构造
，则
，
时，
，则
在时为增函数，∴
．①
，即
时，
，
在时为增函数，∴
，此时
恒成立；②
，即
时，存在
，使得
，从而
）时，
，∴在
上是减函数，∴时，
，不符合题意．综上，a的取值范围是（-∞，1]．
试题解析：（1）∵，∴，
当时，，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当时，由，可得，由，可得，∴为函数的极小值点，
由已知，，即，∴； 5分
（2）不等式，即，
设，则
，时，，则在时为增函数，∴．
①，即时，，在时为增函数，∴，此时恒成立；
②，即时，存在，使得，从而）时，，∴在上是减函数，
∴时，，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，1]． 12分
考点：1．函数极值、最值求解；2．恒成立问题．