- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且
．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．- 答案：（1）EF∥平面BDC1 ；（2）
． - 试题分析：（Ⅰ）如图，取
的中点M，
，
为
的中点，又
为
的中点，∴
，
在三棱柱
中，
分别为
的中点，
，且
，则四边形A1DBM为平行四边形，
，
，又
平面
，
平面，
平面．（2）连接DM，分别以
、
、
所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则
，
，
，
，∴
，
，
．设面BC1D的一个法向量为
，面BC1E的一个法向量为
，则由
得
取
，又由
得
取
，则
，故二面角E－BC1－D的余弦值为．
试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点M，，
为的中点，又为的中点，∴，
在三棱柱中，分别为的中点，
，且，
则四边形A1DBM为平行四边形，，
，又平面，平面，
平面．5分
（Ⅱ）连接DM，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，
∴，，．
设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，
则由得取，
又由得取，
则
， 11分
故二面角E－BC1－D的余弦值为． 12分
考点：1．线面平行；2．二面角的求解