- 试题详情及答案解析
- （3分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆
的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ．
- 答案：
- 试题分析：解法一：可先直线A1B2的方程为
，直线B1F的方程为
，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；
解法二：对椭圆进行压缩变换，
，
，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（
，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．
解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为
两直线联立则点T（
），则M（
），由于此点在椭圆上，故有
，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0
即e2+10e﹣3=0，解得
故答案为
解法二：对椭圆进行压缩变换，
，
，
椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（
，0）．
延长TO交圆O于N，易知直线A1B2斜率为1，TM=MO=ON=1，
，
设T（x′，y′），则
，y′=x′+1，
由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，
，
（负值舍去），
易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：
令y′=0
，即F横坐标
即原椭圆的离心率e=
．
故答案：．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．