- 试题详情及答案解析
- （10分）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．
求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．- 答案：见解析
- 试题分析：（1）根据条件AE⊥AB，AF⊥AC，得出∠EAC=∠BAF，再利用SAS证明△ABF≌△AEC，可证EC=BF；（2）根据（1），△ABF≌△AEC，所以∠AEC=∠ABF，设AB与EC交于点D．然后证明∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，即EC⊥BF．
试题解析：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，设AB与EC交于点D．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴EC⊥BF．
考点：全等三角形的判定与性质．