- 试题详情及答案解析
- （2014•宿州三模）过双曲线
（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（ ）- 答案：D
- 试题分析：双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为FF'的中点，E为FP的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求|PF|，再设P（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．
解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点
因为O为FF'的中点，E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，
属于OE∥PF'
因为|OE|=a，所以|PF'|=2a
又PF'⊥PF，|FF'|="2c" 所以|PF|="2b"
设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，
∴x=2a﹣c
过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）
得e2﹣e﹣1=0，
∴e=
．
故选D．
点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
