- 试题详情及答案解析
- （2014•南昌模拟）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（ ）
A.5 B.
C.
D.
- 答案：B
- 试题分析：设A（x1，y1）、B（x2，y2），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x可得y2﹣
y﹣4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=﹣4．根据|AF|=5利用抛物线的抛物线的定义算出x1=4，可得y1=±4，进而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△AOB的面积．
解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．
设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x﹣1），
由
消去x，得y2﹣y﹣4=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2=﹣4．
根据抛物线的定义，得|AF|=x1+
=x1+1=5，解得x1=4，
代入抛物线方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，
∵当y1=4时，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；当y1=﹣4时，由y1y2=﹣4得y2=1，
∴|y1﹣y2|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．
因此△AOB的面积为：
S=△AOB=S△AOF+S△BOF=
|OF|•|y1|+
|OF|•|y2|=|OF|•|y1﹣y2|=×1×5=
．
故选：B
点评：本题给出抛物线经过焦点F的弦AB，在已知AF长的情况下求△AOB的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．