- 试题详情及答案解析
- (本小题满分13分)某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面.该圆面的内接四边形是原棚户建筑用地,测量可知边界万米,万米,万米.
(1)请计算原棚户区建筑用地的面积及圆面的半径的值;
(2)因地理条件的限制,边界、不能变更,而边界、可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧上设计一点;使得棚户区改造的新建筑用地的面积最大,并求最大值.- 答案:(1)万米;(2)9万平方米.
- 试题分析:(1)连接AC,根据余弦定理求得cos∠ABC的值,进而求得∠ABC,然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积,二者相加即可求得四边形ABCD的面积,在△ABC中,由余弦定理求得AC,进而利用正弦定理求得外接圆的半径.
(2)设AP=x,CP=y.根据余弦定理求得x和y的关系式,进而根据均值不等式求得xy的最大值,进而求得△APC的面积的最大值,与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值.
试题解析: (1)因为四边形ABCD内接于圆,
所以∠ABC+∠ADC=180°,连接AC,由余弦定理:
AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC.
所以cos∠ABC=,∵∠ABC∈(0,π),故∠ABC=60°.
S四边形ABCD=×4×6×s1n60°+×2×4×s1n120°
=8 (万平方米). 3分
在△ABC中,由余弦定理:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=16+36-246=28
由正弦定理,得
.
∴R= (万米) 7分
(2)∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC,又S△ADC=AD·CD·s1n120°=2,
设AP=x,CP=y.则S△APC=xy·s1n60°=xy. 9分
又由余弦定理AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28.
∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy.
∴xy≤28,当且仅当x=y时取等号 11分
∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9,
∴最大面积为9万平方米. 13分
考点:解三角形的实际应用.