- 试题详情及答案解析
- （本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形
为正方形，四边形
是直角梯形，
，
平面，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面所成的锐二面角的大小．- 答案：（1）详见解析；（2）
- 试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，
，
，
两两垂直，可以
为原点，、、所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设
，则
，
，
，
，则可表示出
，
，
，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由
，
，故
，
，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于
平面，所以可取平面的一个法向量为
；设平面的一个法向量为
，则
，
，故
即
取
，则
，故
，转化为两个法向量的夹角，设
与
的夹角为
，则
．即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.
试题解析：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
故，，，
因为，，故，，
即
，
， 又
所以，平面．
（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量
为，
点
的坐标为
，则
，
，
设平面的一个法向量为，则，，
故即取，则，
故．
设与的夹角为，则．
所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为
考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系