- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，面
为正方形，面
为等腰梯形，
//
，
，
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求四面体
的体积；
（2）线段
上是否存在点
，使
//平面
？证明你的结论．- 答案：（1）祥见解析；（2）
；（2）祥见解析. - 试题分析：（1）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用（1）的结论可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用线面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性质即可得出△BCD的面积，利用三棱锥的体积公式即可得出；
（2）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM．利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
试题解析：（1）证明：在△
中，
因为 ，
，
，
所以 
． ------2分
又因为 ，
所以 平面． ------4分
（2）解：因为平面，所以
．
因为
，所以
平面．
在等腰梯形中可得 
，所以
．
所以△
的面积为 
．
所以四面体的体积为：
．
（2）解：线段
上存在点，且为中点时，有// 平面，证明如下：
连结
，与
交于点
，连接
．
因为 为正方形，所以为中点．所以 //．
因为 
平面，
平面， 所以 //平面．
所以线段上存在点，使得//平面成立．
考点：1．直线与平面垂直的判定；2．棱柱、棱锥、棱台的体积；3．直线与平面平行的判定．