- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）若存在实常数
和
，使得函数
和
对其定义域上的任意实数
分别满足：
和
，则称直线
为和的“隔离直线”．已知
，
为自然对数的底数）．
（1）求
的极值；
（2）函数
和
是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．- 答案：（1） 极小值为
，无极大值；（2） 函数和存在唯一的隔离直线
． - 试题分析：（1）由已知中函数h（x）和φ（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值;
（2）由（1）可知，函数h（x）和φ（x）的图象在（
e）处相交，即和的隔离直线,寻么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程程为：y-e=k（x-）,即y=kx-k +e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程．
试题解析：（1） 
，
．
当
时，
． ------3分
当
时，
，此时函数
递减；
当
时，
，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为．
（2）解：由（1）可知函数和的图象在
处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为，则直线方程为
，即
．
由
，可得
当
时恒成立．
， 
由
，得
．
下面证明
当
时恒成立．
令
，则
， 当时，
．
当时，
，此时函数
递增；
当时，
，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而
，即
恒成立
∴函数和存在唯一的隔离直线．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．