- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
的导函数是
，在
处取得极值，且
，
（1）求的极大值和极小值；
（2）记在闭区间
上的最大值为
，若对任意的
总有
成立，求
的取值范围；
（Ⅲ）设
是曲线
上的任意一点．当
时，求直线OM斜率的最小值，据此判断与
的大小关系，并说明理由．- 答案：（1）极大值为
，极小值为
；（2）
；（Ⅲ）直线
斜率的最小值为4，
，理由祥见解析． - 试题分析：（1）依题意，f'（3）=0，解得m=-6，由已知可设f（x）=x3-6x2+9x+p，因为f（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的极大值和极小值．
（2）当0＜t≤1时，由（1）知f（x）在[0，t]上递增，所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t3-6t2+9t，由F（t）≥λt对任意的t恒成立，得t3-6t2+9t≥λt，则λ≤t2-6t+9=（t-3）2，由此能求出λ的取值范围．
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，直线OM斜率，因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，则4≤（x-3）2＜9，即直线OM斜率的最小值为4．由此能够导出f（x）＞4s1nx．
试题解析： （1）依题意，
，解得
， 1分
由已知可设
，
因为，所以
，
则
，导函数
． 3分
列表：
| 
| 1
| （1,3）
| 3
| （3，＋∞）
|
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
| 递增
| 极大值4
| 递减
| 极小值0
| 递增
|
由上表可知在
处取得极大值为，
在
处取得极小值为． 5分
（2）①当
时，由（1）知在
上递增，
所以的最大值
， 6分
由
对任意的
恒成立，得
，
则
，因为
，所以
，则
，
因此
的取值范围是
． 8分
②当
时，因为
，所以
的最大值
，
由对任意的恒成立，得
， ∴
，
因为，所以
，因此的取值范围是， 9分
综上①②可知，的取值范围是． 10分
（Ⅲ）当
时，直线斜率
，
因为
，所以
，则
，
即直线斜率的最小值为4． 11分
首先，由
，得
.
其次，当时，有
，所以， 12分
证明如下：
记
，则
，
所以
在
递增，又
，
则
在恒成立，即，所以 . 14分
考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2. 利用导数研究函数的极值．