- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）若实数a＞0且a≠2，函数
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（1）证明函数f（x）在x＝1处取得极值，并求出函数f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，＋∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）＜1成立，求实数a的取值范围.- 答案：（1）见解析；（2）（0，
）∪（6，＋∞） - 试题分析：（1）只需证明x＝1是导函数的零点，进而通过对a的讨论，可求出单调区间；（2）只需在（0，＋∞）上f（x）最小值＜1即可.
试题解析：（1）∵
∴f '（x）＝ax2－（a＋2）x＋2＝a（x－1）（x－
）
当a＞2时，0＜＜1，列表如下：
∴函数f（x）在x＝1处取得极小值，
f（x）的单调递增区间是（－∞，）和（1，＋∞），单调递减区间是（，1）.
当0＜a＜2时，＞1，列表如下：
∴函数f（x）在x＝1处取得极大值
f（x）的单调递增区间是（－∞，1）和（，＋∞），单调递减区间是（1，）.
（2）因为f（0）＝1，由（1）知要使在区间（0，＋∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）＜1成立，只需在区间（0，＋∞）上f（x）极小值＜1即可
当a＞2时，f（x）极小值＝f（1）＝2－
＜1，所以a＞6.
当0＜a＜2时，f（x）极小值＝f（）＝1＋
＜1，解得0＜a＜
综上所述，实数a的取值范围是（0，）∪（6，＋∞）
考点：利用导数研究函数的单调性，极值，不等式恒成立问题