- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）设F1，F2分别是椭圆
的左右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求
的最大值和最小值.
（2）是否存在经过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|F2C|＝|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.- 答案：（1）最小值3，最大值4；（2）不存在
- 试题分析：（1）将数量积转化为坐标表示，利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程，根据|F2C|＝|F2D|，可知F2在弦CD的中垂线上，利用中点和斜率关系，写出中垂线方程，代入F2点即可判断.或者根据焦半径公式判断更为简洁.
试题解析：（1）易知a＝
，b＝2，c＝1，∴F1（－1，0），F2（1，0）
设P（x，y），则
＝（－1－x，－y）·（1－x，－y）
＝x2＋y2－1
＝x2＋4－
x2－1
＝
x2＋3
∵x2∈[0，5]，
当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当x＝±，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4.
（2）法一、假设存在满足条件的直线l，易知点A（5，0）在椭圆外部，当直线斜率不存在时，直线l与椭圆无交点.
所以满足条件的直线斜率存在，设为k
则直线方程为y＝k（x－5）
由方程组
得：（5k2＋4）x2－50k2x＋125k2－20＝0
依题意，△＝20（16－80k2）＞0
得：
当时，设交点为C（x1，y1），D（x2，y2），CD中点为R（x0，y0）
则x1＋x2＝
，x0＝
∴y0＝k（x0－5）＝k（
－5）＝
又|F2C|＝|F2D|，有F2R⊥l，即
＝－1
即
＝－1
即20k2＝20k2－4，
该等式不成立，所以满足条件的直线l不存在.
法二、设交点为C（x1，y1），D（x2，y2），
设它们到右准线x＝
的距离分别为d1、d2，
根据椭圆第二定义，有
因为|F2C|＝|F2D|，故d1＝d2，于是x1＝x2，
于是CD所在直线l⊥x轴
又直线l经过A（5，0）点，于是l的方程为x＝5
但x＝5与椭圆无公共点，所以，满足条件的直线不存在.
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积，最值，存在性问题