- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）已知等差数列
，其前
项和为
.若
,
．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意
，将数列中落入区间
内的项的个数记为
；
①求数列的通项公式
；
②记
，数列
的前项和为
，求所有使得等式
成立的正整数，
．- 答案：（１）
；（２）
； 
． - 试题分析：（１）由于这是一个特殊数列等差数列，根据题中所给两个条件采用回归基本量的构造方程组的方法即可求解：由，化简可得：
，又由，化简可得：
，联立方程组却可求解；（２）①由（1）中所求数列的通项代入到题中所要求的区间内可得：
，对其化简可得：
，由于n的整数特性即可得：
，则易求出：；②利用前面所求不难表示出：
，这样它就是一个新的等比数列，由求和公式易得：
，将它代入已知：，得
，化简得
，即
，即
，利用
，可得
，所以
，
，所以
或
或
．对这三个数我们采用代入检验的方法即可取舍.
综上可知，存在符合条件的正整数．
试题解析：（１）
，即；
；
所以
，；
（２）
；
得；
；
得，
由，得，化简得，
即，即．
因为，所以，所以，
因为，所以或或．
当时，由（*）得
，所以无正整数解；
当
时，由（*）得
，所以无正整数解；
当
时，由（*）得
，所以
．
综上可知，存在符合条件的正整数．
考点：1.等差数列的基本量；2.等比数列的基本量；3.数列与不等式的综合