- 试题详情及答案解析
- 已知：如图，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点.
（1）求证：△CDP∽△PAF；
（2）设
，
，求
关于
的函数关系式，及自变量的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由.- 答案：（1）证明见解析；（2）y=-
x2+
x（0＜x＜3）（3）不存在．理由见解析. - 试题分析：（1）利用切线的性质得出∠1+∠2=90°，进而利用矩形的性质求得出∠2=∠3，进而得出△CDP∽△PAF；
（2）利用△CDP∽△PAF，得出
，进而得出y与x之间的函数关系；
（3）设△AFP下翻后落在BC边上的点为Q，利用已知首先判定△QPC为等腰三角形，再利用QC=QP=AP=3-x，利用勾股定理求出关于x的一元二次方程进而得出答案．
试题解析：（1）证明：∵过P作⊙C的切线交线段AB于F点，
∴CP⊥FP，
∴∠1+∠2=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△CDP∽△PAF；
（2）解：∵△CDP∽△PAF，
∴，
∵DP=x，AF=y，
∴
，
∴y=-x2+x（0＜x＜3）
（3）证明：设△AFP下翻后落在BC边上的点为Q，
∵△AFP≌△QFP，
∴QF=AF=y，∠QPF=∠APF．
由PF是圆的切线可知：∠QPF+∠DPC=90°，∠QPF+∠QPC=90°．
∴∠QPC=∠DPC．
又∵∠DPC=∠PCQ，
∴△QPC为等腰三角形，
∴QC=QP=AP=3-x，则BQ=x．
在△FBQ中，FB=2-y，BQ=x，FQ="y"
x2+（2-y）2=y2整理得：x2-4y+4=0，
由y=-x2+x得3x2-6x+4="0" 因为（-6）2-4×3×4＜0，
所以此方程无实根，
所以这样的点就不存在．
考点：圆的综合题．