- 试题详情及答案解析
- 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），以AB为直径在x轴的上方作半圆O，点C是该半圆上第一象限内的一个动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使BC=CD，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、线段AC于点E、F，E为垂足，连结OF．
（1）当∠CAB=30°时，求弧BC的长；
（2）当AE=6时，求弦BC的长；
（3）在点C运动的过程中，是否存在以点O、E、F为顶点的三角形与△DEB相似？若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）
;（2） 
；（3） E（
,
） - 试题分析：（1）直接根据A、B两点的坐标求出AB的长，连接OC，再根据∠CAB=30°求出∠BOC的度数，由弧长公式即可得出结论；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DBE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）设E（x，y），由（2）知
，2BC2=AB•BE，BD=2BC，再分△OEF∽△DEB与△FEO∽△DEB两种情况讨论即可．
试题解析：（1）∵点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），
∴AB=10．
连接OC，
∵∠CAB=30°，
∴∠BOC=60°，
∴
（2）∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠AEF=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AC=90°，
∴∠DEB=∠ACB=∠AEF．
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠FAE=∠EDB，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
∵BC=CD，
∴
，
解得BC=；
（3）设E（x，y），
∵，
∴2BC2=AB•BE，即BC=
，
∴BD=2BC=2．
当△OEF∽△DEB时，∠OFE=∠DBE，
∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠EFC=180°，
∴∠AFE=∠DBE，
∴∠OFE=∠AFE，
∵∠AFE＞∠OFE，
∴此种情况不成立；
当△FEO∽△DEB时，∠OFE=∠BDE=∠FAE，
∴△FAE∽△OFE∽△BDE，则
，
，
即
，
∴y2=x2+5x①，
②，
①②联立得
，
，
∴E（,）
考点：圆的综合题．