- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
.
（1）若曲线
在
处的切线为
，求
的值；
（2）设
，
，证明：当
时，
的图象始终在
的图象的下方；
（3）当
时，设
，（
为自然对数的底数），
表示
导函数，求证：对于曲线
上的不同两点
，
，
，存在唯一的
，使直线
的斜率等于
．- 答案：（1）
；（2）见解析；（Ⅲ）见解析 - 试题分析：（1）利用已知条件写出切线方程为
，再与对比系数即可；（2）只需证明当时
即可；（Ⅲ）由题意证明
即
设
只需证明
在上满足
即可，
，将
看作自变量求导易得
是
的增函数，所以
，同理
，故
试题解析：（1）
，此时
，又
，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，
，. 3分
（2）
则
在
单调递减，且 
当
时，
即
，
当时，的图像始终在的图象的下方. 7分
（3） 由题，
.
∵，∴
，∴
，
即， 9分
设,则是关于
的一次函数，故要在区间
证明存在唯一性，
只需证明在上满足.下面证明之：
，
，
为了判断
的符号，可以分别将
看作自变量得到两个新函数，
讨论他们的最值：
，将看作自变量求导得
，
是的增函数，
∵，∴； ..11分
同理：
，将
看作自变量求导得
，
是的增函数，
∵，∴；
∴，
∴函数在
内有零点
， ..13分
又
，函数在是增函数，
∴函数在内有唯一零点，从而命题成立. 14分
考点：导数及其综合应用