- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）如图,三棱柱
中,
,
,平面
平面
,
与
相交于点
.
（Ⅰ）求证:
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.- 答案：（Ⅰ）见解析 ；（Ⅱ）
- 试题分析：（Ⅰ）证明直线和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推论（
）．（3）利用面面平行的性质（
）．（4）利用面面垂直的性质．本题即是利用面面垂直的性质；（Ⅱ）求面面角方法一是传统方法，作出二面角，难度较大，一般不采用，方法二是向量法，思路简单，运算量稍大，一般采用向量法.
试题解析：（Ⅰ）依题意,侧面是菱形,是的中点,因为
,所以
,
又平面
平面,且
平面
,平面
平面
所以平面. 5分
（Ⅱ）[传统法]由（Ⅰ）知平面,
面,所以
,
又
,
,所以
平面,
过作
,垂足为
,连结
,则
,
所以
为二面角的平面角. 9分
在
中,
,
所以
,
12分
所以
,即二面角的余弦值是. 14分
[向量法]以为原点,建立空间直角坐标系
如图所示, 6分
由已知可得
故
,
则
, 8分
设平面
的一个法向量是
,
则
,即
,解得
令
,得
11分
显然
是平面的一个法向量, 12分
所以
,即二面角的余弦值是. 14分
考点：线面垂直、二面角