- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）已知两点
、
,动点
与
、
两点连线的斜率
、
满足
.
（Ⅰ）求动点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）
是曲线与
轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点
、
,使得
是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由.- 答案：（Ⅰ）
（
）；（Ⅱ）3个 - 试题分析：（Ⅰ）求动点的轨迹方程的一般步骤：1．建系——建立适当的坐标系．2．设点——设轨迹上的任一点P（x，y）．3．列式——列出动点P所满足的关系式．4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程．
（Ⅱ）由题意可知设
所在直线的方程为
，则
所在直线的方程为
分别联立椭圆方程求得弦长
，
,再由
得
解方程即可
试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为
（）,则
,
, 2分
依题意
,所以
,化简得
, 4分
所以动点的轨迹的方程为（）. 5分
注:如果未说明（或注
）,扣1分.
（Ⅱ）设能构成等腰直角,其中为
,
由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于
轴,故可设所在直线的方程为,
（不妨设
）,则所在直线的方程为 7分
联立方程
,消去整理得
,解得
,
将代入
可得
,故点的坐标为
.
所以
, 9分
同理可得
,由,得,
所以
,整理得
,解得
或
11分
当斜率时,斜率
；当斜率
时,斜率
；
当斜率
时,斜率
,
综上所述,符合条件的三角形有
个. 14分
考点：圆锥曲线的综合应用