- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）已知函数
,
（其中
）.
（Ⅰ）如果函数
和
有相同的极值点,求
的值,并直接写出函数
的单调区间；
（Ⅱ）求方程
在区间
上实数解的个数.- 答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
- 试题分析：（Ⅰ）分别求出函数和的极值点，让其相等即可解决即
或
，注意分类讨论；（Ⅱ）注意到
，令
分
三种情况进行讨论，在的情况较为复杂，当即
或
时,若,由于
,三个点函数值正负已确定，易得原方程有唯一实数解；若时,由于
,由于
函数值正负情况不知，所以需分类讨论即当
与
最终才会获解
试题解析：（Ⅰ）
,
则
, 1分
令
,得
或
,而二次函数
在
处有极大值,所以或,
解得
或
； 4分
当时,的递增区间为
,
,递减区间为
. 5分
当时,的递增区间为
,递减区间为
. 6分
（Ⅱ）
, 8分
令,
,
当即
时,
无实根,故原方程的解为
,满足题意,
即原方程有唯一实数解； 9分
当即或时,
若,则的实数解为
,故原方程在区间上有唯一实数解；
若,则
的实数解为
,故原方程在区间上有两实数解,或
； 10分
当即或时,
若,由于
,此时在区间上有一实数解,故原方程有唯一实数解； 11分
若时,由于
,
当即
时,在区间上有唯一实数解,故原方程有一实数解；
若即
时,在区间上无实数解,故原方程有无实数解； 13分
综上,当时,原方程在上无实数解；
当
或时,原方程在上有唯一实数解；
当时,原方程在上有两不等实数解. 14分
考点：导数及其综合应用