- 试题详情及答案解析
- （2014•衡阳三模）设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为（ ）
| A．（﹣2，3） | B．（﹣2，2） | C．（1，2） | D．（﹣1，1） |
- 答案：D
- 试题分析：作出函数f（x）的图象，由a＞b＞1，且f（a）=f（b）可得 （a﹣1）2+（b﹣1）2=4．设a﹣1=2cosθ，b﹣1=2sinθ，θ∈（0，
），根据ab﹣a﹣b=2sin2θ﹣1，利用正弦函数的定义域和值域求得ab﹣a﹣b的范围．
解：作出函数f（x）的图象，如图：可得f（x）=|x2﹣2x﹣1|的图象关于直线x=1对称，
且f（1﹣
）=f（1+）=0，f（3）=f（﹣1）=f（1）=2，
由a＞b＞1，且f（a）=f（b），得a2﹣2a﹣1=﹣（b2﹣2b﹣1），整理得 （a﹣1）2+（b﹣1）2=4．
设a﹣1=2cosθ，b﹣1=2sinθ，θ∈（0，
），则ab﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1）﹣1=2sin2θ﹣1，
由sin2θ∈（0，1），可得2sin2θ﹣1∈（﹣1，1），即ab﹣a﹣b∈（﹣1，1），
故选：D．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，三角代换、正弦函数的定义域和值域，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．