- 试题详情及答案解析
- （2014•南昌三模）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） - 答案：D
- 试题分析：依题意，关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集⇔a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|，可求其最大值，从而可解关于a的不等式即可．
解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，
∴a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，
构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=
，
则a2+a+1＞f（x）max，
∵f（x）max=1，
∴a2+a+1＞1，
∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜﹣1．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
故选D．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想的应用与一元二次不等式的解法的考查，属于中档题．