- 试题详情及答案解析
- （2014•南昌三模）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．
- 答案：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
- 试题分析：根据绝对值的性质，我们可以求出|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值，结合不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，可得|x﹣1|﹣|x﹣2|＜a2+a+1恒成立，即a2+a+1大于|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值，解不等式可得实数a的取值范围．
解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|=|x﹣1|﹣|2﹣x|≤|x﹣1﹣x+2|=1
若不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，
则|x﹣1|﹣|x﹣2|＜a2+a+1恒成立
即a2+a+1＞1
解得x＜﹣1或x＞0
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据绝对值的性质求出不等式左边的最值是解答的关键．