- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）如图，平面
平面
，
，
为等边三角形，
，过
作平面交
、
分别于点
、
．
（1）求证：
；
（2） 设
，求
的值，使得平面与平面
所成的锐二面角的大小为
．- 答案：（1）详见解析；（2）
．- 试题分析：（1）根据条件中给出的平面
平面，，因此可以考虑以点
为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量来求证，从而只需求出平面
的一个法向量
，说明
，即有
，从而有
平面，进而有
；（2）由（1）建立的空间直角坐标系可知，问题等价于求得平面
的一个法向量
，满足
，通过空间向量的计算，易知可取
，
，从而解得．
试题解析：（1）如图以点为原点建立空间直角坐标系
，不妨设
，
，
，则
， 
，
，
，
，由
，得
，
，
，是平面
的一个法向量，且，故，又∵
平面，即知平面，又∵
，，
，
四点共面，∴；（2），
，设平面的法向量
，则
，
，可取，又∵是平面的一个法向量，由
，以及
可得
，即
，解得（负值舍去），故．
考点：立体几何中的空间向量方法．