- 试题详情及答案解析
- 本题满分15分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ．点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB= ，PD= ；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；- 答案：解：（1）QB=12-2t，PD=
t。
∵PD∥BC，当PD=BQ时四边形PDBQ为平行四边形，
即12-2t=t，解得：t=
(秒)（或t=3.6秒）
∴存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形。
∵t=3.6时，BQ=PD=t=4.8，由△ABC∽△ADP，∴AD=
t=6，BD=15-6=9,
∴BD≠PD，∴不存在t使四边形PDBQ为菱形。
设点Q的速度为每秒
个单位长度
则
，
，
要使四边形PDBQ为菱形，则
当
时，即
，解得：
当
，时，即
，解得：
∴当点Q的速度为每秒
个单位长度时，经过
秒，四边形PDBQ是菱形 - 试题分析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，PD∥BC，即可得tanA=
，则可求得QB与PD的值；（2）由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，据此列出方程，解得即可；（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由BD≠PD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．