- 试题详情及答案解析
- 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结AP、CP，延长CP交AD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP:PB=1:2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．- 答案：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP．
∵DP=DP，
∴△CDP≌△ADP．
∴∠DCP=∠DAP．
（2）解：∵CD∥BA，
∴△CDP∽△FPB．
∴
．
∵CD=BA，
∴BA=AF．
∵PA⊥BF，
∴PB=PF．
∴∠PBA=∠PFA．
∴∠PCD=∠PDC．
∴PD =PC=PA．
∴BD=BP+PD．
∵
，
∴
．
在Rt△ABP中，
，
∵AB=2，
∴
，
．
∴
． - 试题分析：（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDC=∠BDA，利用“边角边”证明△APD和△CPD全等，再根据全等三角形的对应边相等证明即可；（2）由CD∥BA， 可得△CDP∽△FPB，解直角三角形求出PB，再求出PD，根据BD=BP+PD计算即可．
考点：菱形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.
点评：本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质.解答本题的关键是熟练掌握基本性质．