- 试题详情及答案解析
- （14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=
．
（1）如图，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，
①求证：△AEP∽△ABC
②设AP=x，求MP的长 （用含x的代数式表示）
（2）若△AME∽△ENB，求AP的长．- 答案：（1）①证明：在直角三角形APE和直角三角形ACB中，
,
又
=
所以△AEP∽△ABC
②在直角三角形ACB中，由勾股定理得AC=
∴
在直角三角形APE中，
∴
设AP=x
则
在直角三角形EMP中，
即
∴
由勾股定理得
（2）①当点E在AC上时，如图2，
设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴
，
∴
，
∴AP=16a，
∴AM=11a，
∴BN=50﹣16a﹣5a=50﹣21a，
∵△AME∽△ENB，
∴
，
∴
=
，
∴a=
，
∴AP=16×=22，
②当点E在BC上时，如图（备用图），
设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△EBP∽△ABC，
∴
=
，
即
=
，
解得BP=9a，
∴BN=9a﹣5a=4a，AM=50﹣9a﹣5a=50﹣14a，
∵△AME∽△ENB，
∴
，
即
=
，
解得a=
，
∴AP=50﹣9a=50﹣9×=42．
所以AP的长为：22或42 - 试题分析：（1）①在直角三角形APE和直角三角形ACB中， ,是公共角，由两角分别相等的三角形相似可得△AEP∽△ABC
②本题先在直角三角形ACB由勾股定理求出AC=40，得出
又在直角三角形APE中，因此设AP=x,则可表示出EP，再由可表示出ME，进而由勾股定理表示出MP本题先根据EN="EM," ，设出EP的值，从而得出EM和PM的值
（2）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
点评：本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键