- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知椭圆的焦点在
轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点
作与坐标轴不垂直的直线
，交椭圆于
、
两点，设点
是线段
上的一个动点，且
，求
的取值范围；
（3）设点
是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点
，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．- 答案：（1）
，（2）
，（3）存在定点
- 试题分析：首先根据条件求出椭圆的方程，第二步直线过右焦点可设出直线的方程，代入椭圆的方程，消去
得出关于的一元二次方程，设而不求，利用根与系数关系写出
，
，再利用点在直线上求出
，最后利用向量的坐标运算，根据得：
，得出等式
，由于
，可得
，第三步假设在轴上存在定点，使得、、三点共线．依题意
，写出直线
的方程，与轴的交点可令
，求出点的横坐标，又点
在直线
上， ∴ 
，代入减元可得
，所以过轴上一个定点.
试题解析：（1）设椭圆方程为
，由题意
，又
，
∴
，故椭圆方程为 .
由（1）得右焦点
，则
，设的方程为
（
）代入
得，
，∴
，
设
则，， 且
， ．
∴ 
，
，
由，得，
即:
，
∴ 当时，有成立．
在轴上存在定点，使得、、三点共线．依题意，直线的方程为
，令，则
，点在直线上， ∴ ，
∴
，∴ 在轴上存在定点
，使得、、三点共线．
考点：1.设而不求思想；2.解析几何问题向量运算综合；3.存在性命题的解题方法；