- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题6分，第三小题7分
如图，曲线
由曲线
和曲线
组成，其中点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点，点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点；
（1）若
，求曲线的方程；
（2）对于（1）中的曲线，若过点
作直线
平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求三角形
的面积；
（3）如图，若直线（不一定过）平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上。
- 答案：（1）
和
；（2）证明见解析；（3）
．- 试题分析：（1）利用待定系数法求解；（2）写出直线
方程，与曲线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式求弦长与高，再求三角形的面积；（3）写出渐近线的方程与直线的方程，联立直线与椭圆的方程，利用中点坐标公式写出中点坐标，再验证中点在另外一条渐近线上.
试题解析：（1）
2分
则曲线的方程为和。 3分
（2）
，曲线的渐近线
4分
设
，
5分
7分
8分
9分
（3）曲线的渐近线为
10分
如图，设直线
11分
则
12分
又由数形结合知
，
13分
设点
，
则
， 14分
，
15分
，即点M在直线
上。 16分
考点：1.圆锥曲线；2.直线与圆锥曲线的位置关系.