- 试题详情及答案解析
- 已知椭圆
经过点
，离心率为
，动点M（2，t）（
）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且截直线
所得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.- 答案：（1）
；（2）
；（3）
.- 试题分析：（1）根据题意将点
的坐标代入椭圆方程中得到
，同时
联立即可得到
的值，即椭圆的方程；（2）根据题意所求圆心为
的中点
，半径为
，利用圆心到直线的距离为
，得到关于
的方程，得到所求圆的方程；（3）根据题意过点
作的垂线，垂足设为
及平面几何知识得到：
，设直线的方程为：
与
的直线
方程联立求得
，进而求得
得到
的长为定值.
试题解析：（1）由题意得
，又由椭圆经过点P，得，又
联立解得
，所以椭圆的方程为；
（2）以为直径的圆的圆心为，半径
，所以圆M的方程为
。依题意
，解得
所以所求圆的方程为；
（3）过点作的垂线，垂足设为,由平面几何知识知，直线的方程为，则直线的方程为由
，得
，故
，所以线段的长为定值
.
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆；3.定值.